Question

设曲线C的方程是y=x³－x，将C沿x轴、 y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。

    (1)写出曲线C1的方程；

    (2)证明曲线C与C₁关于点A（）对称。

   （3如果曲线C与C₁有且仅有一个公共点，证明S=且t≠0。

Answer 1

答案：
解析：

(1)曲线C1的方程为     y＝(x－t)3－(x－t)＋s。 (2)证明  在曲线C上任取一点B1(x1，y1)。设B2(x2，y2)是B1关于A的对称点，则有     。     ∴x1＝t－x2，y1=S－y2代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：     s－y2＝(t－x2)3－(t－x2)，     即    y2＝(x2－t)3－(x2－t)＋s。     可知点B2(x2，y2)在曲线C1上。     反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上。     因此，曲线C与C1关于点A对称。  (3)证明  因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组         有且仅有一组解     消去y，整理得     3tx2－3t2x＋(t3－t－s)＝0，     这个关于x的一元二次方程组有且仅有一个根。     所以t≠0并且其根的判别式     △＝9t4－12t(t3－t－s)＝0     即     ∴s＝－t且t≠0。