Question

【题目】已知a∈R，当x＞0时，f（x）=log2（ +a）．
（1）若函数f（x）过点（1，1），求此时函数f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=f（x）+2log2x只有一个零点，求实数a的范围；
（3）设a＞0，若对任意实数t∈[ ，1]，函数f（x）在[t，t+1]上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a∈R，当x＞0时，f（x）=log2（ +a）．

函数f（x）过点（1，1），

∴f（1）=log2（1+a）=1，解得a=1，

∴此时函数f（x）=log2（ +1）（x＞0）．

（2）解：g（x）=f（x）+2log2x= +2log2x=log2（x+ax2），

∵函数g（x）=f（x）+2log2x只有一个零点，

∴g（x）=f（x）+2log2x=log2（x+ax2）=0

∴（ +a）x2=1化为ax2+x﹣1=0

∴h（x）=ax2+x=1在（0，+∞）上只有一个解，

∴当a=0时，h（x）=x﹣1，只有一个零点，可得x=1；

当a≠0时，h（x）=ax2+x﹣1在（0，+∞）上只有一个零点，

当a＞0时，成立；

当a＜0时，令△=1+4a=0解得a=﹣ ，可得x=2．

综上可得，a≥0或a=﹣ ．

（3）解：f（x）= ，

f′（x）=﹣ ，

当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）在[t，t+1]上的最大值与最小值分别是f（t）与f（t+1），

由题意，得f（t）﹣f（t+1）≤1，

∴ ≤2，

整理，得a≥ ，

设Q（t）= ，

Q′（t）= ，

当t∈[ ，1]时，Q′（t）＜0，

则a≥Q（t），∴a≥Q（ ），解得a≥ ．

∴实数a的取值范围是[ ，+∞）．

【解析】（1）由f（1）=log2（1+a）=1，解得a=1，由此能求出此时函数f（x）的解析式．（2）g（x）=log2（x+ax2），由函数g（x）只有一个零点，从而h（x）=ax2+x=1在（0，+∞）上只有一个解，由此能求出a．（3）f（x）= ， ，由题意，得f（t）﹣f（t+1）≤1，从而a≥ ，设Q（t）= ，Q′（t）= ，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．