题目内容
19．已知m，n，i，j均为正整数，记ai，j为矩阵${A_{n×m}}=（{\begin{array}{l}1&{{a_{1，2}}}&…&{{a_{1，m}}}\\ 2&{{a_{2，2}}}&…&{{a_{2，m}}}\\…&…&…&…\\{{a_{n，1}}}&{{a_{n，2}}}&…&{{a_{n，m}}}\end{array}}）$中第i行、第j列的元素，且ai，j+1=ai，j+1，2ai+2，j=ai+1，j+ai，j（其中i≤n-2，j≤m-2）；给出结论：①a5，6=$\frac{13}{4}$；②a2，1+a2，2+…+a2，m=2m；③${a_{n+1，m}}={a_{n，m}}+{（{-\frac{1}{2}}）^n}$④若m为常数，则$\lim_{n→∞}{a_{n，m}}=\frac{2+3m}{3}$．其中正确的个数是（ ）| A． | 0个 | B． | 1个 | C． | 2个 | D． | 3个 |
分析 利用条件确定an，m=$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$+m，再进行验证，即可得出结论．
解答 解：由题意，2ai+2，j=ai+1，j+ai，j，
所以an，1-an-1，1=$（-\frac{1}{2}）^{n-2}$，
所以利用叠加法可得an，1=$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$+1，
因为ai，j+1=ai，j+1，所以an，m=$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$+m
所以：①a5，6=$\frac{53}{8}$，故不正确；
②a2，1+a2，2+…+a2，m=2+3+4+…+m+1=$\frac{m（m+3）}{2}$，故不正确；
③由an，m=$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$+m，可得${a_{n+1，m}}={a_{n，m}}+{（{-\frac{1}{2}}）^n}$$•\frac{2}{3}$，故不正确；
④若m为常数，利用极限可得$\lim_{n→∞}{a_{n，m}}=\frac{2+3m}{3}$，正确．
故选：B
点评 本题考查新定义，考查数列知识的运用，确定an，m=$\frac{2}{3}[1-（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$+m是关键．
练习册系列答案
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19．曲线y=ex，直线x=0，x=$\frac{1}{2}$与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到旋转体的体积是（ ）
| A． | $\frac{（e-1）π}{2}$ | B． | $\frac{（e-1）{π}}{3}$ | C． | $\frac{（e-1）π}{4}$ | D． | $\frac{（e-1）π}{5}$ |
10．
正四面体ABCD的棱长为2，棱AD与平面α所成的角θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，且顶点A在平面α内，B，C，D均在平面α外，则棱BC的中点E到平面α的距离的取值范围是（ ）
正四面体ABCD的棱长为2，棱AD与平面α所成的角θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，且顶点A在平面α内，B，C，D均在平面α外，则棱BC的中点E到平面α的距离的取值范围是（ ）| A． | [$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1] | B． | [$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，1] | C． | [$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$] | D． | [$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$] |