Question

（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H .

求证：（Ⅰ）C，D，F，E四点共圆；

（Ⅱ）GH²=GE·GF.

Answer 1

【证明】 （Ⅰ）连接BC.

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.

∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°.

又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG.

又∠FDC=∠ABC，∴∠FDC=∠AEG.

∴∠FDC+∠CEF=180°.

∴C，D，F，E四点共圆. …………5分

（Ⅱ）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，

∴GH²=GC·GD.

由C，D，F，E四点共圆，

得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF.

∴△GCE∽△GFD.∴=，

即GC·GD=GE·GF， 

∴CH²=GE·GF. ………… 10分