Question

已知x，y均为正数，且x≠y，则下列四个数中最大的一个是（　　）

A． 1 2 （ 1 x + 1 y ）

B． 1 x+y

C． 1 xy

D． 1 2(x2+y2)

Answer 1

先取x=1，y=2，得

1

2

(

1

x

+

1

y

)=

3

4

，

1

x+y

=

1

3

，

1

xy

=

2

2

，

1 2(x2+y2)

=

10

10

可得最大的数是

1

2

(

1

x

+

1

y

)，接下来加以证明
∵x，y均为正数，且x≠y，
∴x+y＞2

xy

，可得

1

x+y

＜

1

2 xy

＜

1

xy

∵x²+y²＞2xy，得2（x²+y²）＞4xy
∴

1

4xy

＞

1

2(x2+y2)

＞0，开方得

1

2 xy

＞

1 2(x2+y2)

因此，

1

xy

＞

1 2(x2+y2)

∵

1

2

(

1

x

+

1

y

)-

1

xy

=

( x - y )2

2xy xy

＞0
∴

1

2

(

1

x

+

1

y

)＞

1

xy

，
综上所述，四个数中最大的一个是

1

2

(

1

x

+

1

y

)
故选A