题目内容

（2013•镇江二模）已知x，y均为正数，θ∈(
π
4
，
π
2
)，且满足
sinθ
x
=
cosθ
y
，
cos2θ
x2
+
sin2θ
y2
=
10
3(x2+y2)
，则
x
y
的值为
3
3
．
分析：由
cos2θ
x2
+
sin2θ
y2
=
10
3(x2+y2)
，两边同乘以x2+y2得到
y2cos2θ
x2
+
x2sin2θ
y2
=
7
3
；把
sinθ
x
=
cosθ
y
代入上式得
cos4θ
sin2θ
+
sin4θ
cos2θ
=
7
3
，可化为
cos6θ+sin6θ
sin2θcos2θ
=
7
3
，
利用立方和公式可以把cos6θ+sin6θ化为1-3sin2θcos2θ，可化为sin2θcos2θ=
3
16
，与sin2θ+cos2θ=1联立
sin2θcos2θ=
3
16
sin2θ+cos2θ=1
，即可解得sin2θ与cos2θ．再根据θ∈(
π
4
，
π
2
)得0＜cosθ＜
2
2
＜sinθ＜1，即可得出sinθ与cosθ，即可求出答案．
解答：解：∵
cos2θ
x2
+
sin2θ
y2
=
10
3(x2+y2)
，∴(x2+y2)(
cos2θ
x2
+
sin2θ
y2
)=
10
3
，化为
y2cos2θ
x2
+
x2sin2θ
y2
=
7
3
，（*）
∵
sinθ
x
=
cosθ
y
，
∴
x
y
=
sinθ
cosθ
，
y
x
=
cosθ
sinθ
，代人（*）得
cos4θ
sin2θ
+
sin4θ
cos2θ
=
7
3
，
化为
cos6θ+sin6θ
sin2θcos2θ
=
7
3
，
∵cos6θ+sin6θ=（cos2θ+sin2θ）（cos4θ+sin4θ-sin2θcos2θ）=1×[（cos2θ+sin2θ）2-3sin2θcos2θ]=1-3sin2θcos2θ，
∴
1-3sin2θcos2θ
sin2θcos2θ
=
7
3
，
化为sin2θcos2θ=
3
16
，与sin2θ+cos2θ=1联立
sin2θcos2θ=
3
16
sin2θ+cos2θ=1
，解得
sin2θ=
1
4
cos2θ=
3
4
或
sin2θ=
3
4
cos2θ=
1
4
．
由θ∈(
π
4
，
π
2
)得0＜cosθ＜
2
2
＜sinθ＜1．故取
sin2θ=
3
4
cos2θ=
1
4
．解得
sinθ=
3
2
cosθ=
1
2
，∴
x
y
=
sinθ
cosθ
=
3
．
故答案为
3
．
点评：本题综合考查了三角函数的恒等变形、单调性、平方关系、立方和公式、配方法、方程思想等基础知识与基本方法，需要较强的推理能力和变形能力、计算能力．
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四
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{x|-1≤x≤1}
．

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