Question

（本小题满分14分）

已知正项数列的前项和，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）定理：若函数在区间D上是凹函数，且存在，则当 时，总有．

请根据上述定理，且已知函数是上的凹函数，判断与的大小；

（Ⅲ）求证：

Answer 1

解析：（Ⅰ）时，或．

由于是正项数列，所以．

当时，

，                               

整理，得．

由于是正项数列，∴．

∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列．      

从而，当时也满足．

∴（）．                                            ……4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

对于上的凹函数，有．

根据定理，得．　　　　　　　　　　　　　　……6分

整理，得．

令，得．              ……8分

∴，即．

∴．                                                   ……10分

（Ⅲ）∵，∴

                                                               ……12分

又由（Ⅱ），得．

（或）

  ∴．                                                ……14分