Question

{a_n}是公比大于l的等比数列，S_n是{a_n}的前n项和．若S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）令b_n=log₂a_2n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，组成方程组，求出首项与公比，即可求{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）求得数列{b_n}的通项，利用等差数列的求和公式求前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公比为q（q＞1），则

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2

…2分
即

a1+a2+a3=7 a1-6a2+a3=-7

，也即

a1(1+q+q2)=7 a1(1-6q+q2)=-7

，解得

a1=1 q=2

故数列{a_n}的通项为an=2n-1．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a2n=22n-1，故bn=log222n-1=2n-1，…8分
故{b_n}是以1为首项，以2为公差的等差数列 …10分
∴Tn=n×1+

n(n-1)

2

×2=n2…12分．

点评：本题考查等比数列与等差数列的通项，考查数列的求和公式，考查学生的计算能力，属于中档题．