题目内容

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量 $数学公式$ =（sinA，b+c）， $数学公式$ =（a-c，sinC-sinB），满足| $数学公式$ + $数学公式$ |=| $数学公式$ - $数学公式$ |．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设 $数学公式$ =（sin（C+ $数学公式$ ）， $数学公式$ ）， $数学公式$ =（2k，cos2A）（k＞1）， $数学公式$ • $数学公式$ 有最大值为3，求k的值．

解：（Ⅰ）由条件 $\text{[math]}$ ，两边平方可得， $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ =（sinA，b+c）， $\text{[math]}$ =（a-c，sinC-sinB），代入得（a-c）sinA+（b+c）（sinC-sinB）=0，
根据正弦定理，可化为a（a-c）+（b+c）（c-b）=0，
即a²+c²-b²=ac，又由余弦定理a²+c²-b²=2acosB，所以cosB= $\text{[math]}$ ，B=60°．
（Ⅱ） $\text{[math]}$ =（sin（C+ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（2k，cos2A）（k＞1），
$\text{[math]}$ =2ksin（C+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ cos2A=2ksin（C+B）+ $\text{[math]}$ cos2A
=2ksinA+cos²A- $\text{[math]}$ =-sin²A+2ksinA+ $\text{[math]}$ =-（sinA-k）²+k²+ $\text{[math]}$ （k＞1）．
而0＜A＜ $\text{[math]}$ ，sinA∈（0，1]，故当sin=1时，m•n取最大值为2k- $\text{[math]}$ =3，得k= $\text{[math]}$ ．
分析：（I）由条件 $\text{[math]}$ |可得， $\text{[math]}$ ，代入得（a-c）sinA+（b+c）（sinC-sinB）=0，
根据正弦定理，可化为a（a-c）+（b+c）（c-b）=0，结合余弦定理a²+c²-b²=2acosB，代入可求
II先求） $\text{[math]}$ =2ksin（C+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ cos2A=2ksin（C+B）+ $\text{[math]}$ cos2A
=2ksinA+cos²A- $\text{[math]}$ =-sin²A+2ksinA+ $\text{[math]}$ =-（sinA-k）²+k²+ $\text{[math]}$ （k＞1）．
结合0＜A＜ $\text{[math]}$ ，及二次函数的知识求解，
点评：本题主要考查了向量数量积极的坐标表示，余弦定理解答三角形，及含参数的二次函数的最值的求解，属于知识的综合运用，属于中档试题．