题目内容

在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则
OA
•(
OB
+
OC
)的最小值是
 
．
分析：利用向量的运算法则：平行四边形法则作出
ON
=
OB
+
OC
，判断出
ON
，
OM
共线，得到
ON
与
O
A的夹角，利用向量的数量积公式将
OA
•(
OB
+
OC
)转化成二次函数求出最小值，
解答：解：以OB和OC做平行四边形OBNC．
则
ON
=
OB
+
OC

因为M为BC的中点
所以
ON
=2
OM
且
ON
，
OA
反向
∴
OA
•(
OB
+
OC
)=
OA
•
ON
=|
OA
||
ON
|cos180°=-|
OA
||
ON
|，
设OA=x，（0≤x≤2）OM=2-x，ON=4-2x
∴
OA
•(
OB
+
OC
)=-x(4-2x)=2x2-4x（0≤x≤2）
其对称轴x=1
所以当x=1时有最小值-2
故答案为-2
点评：本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、向量的数量积公式、二次函数最值的求法．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，O为外心，P是平面内点，且满足
OA
+
OB
+
OC
=
OP
，则P是△ABC的（　　）
A、外心B、内心C、重心D、垂心
在△ABC中，A、B为定点，C为动点，记∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知c=2，且存在常数λ
（λ＞0），使得abcos2
C2
=λ．
（1）求动点C的轨迹，并求其标准方程；
（2）设点O为坐标原点，过点B作直线l与（1）中的曲线交于M，N两点，若OM⊥ON，试确定λ的范围．
（2011•武汉模拟）在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则
OA
•(
OB
+
OC
)的最小值是（　　）
在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=4，则
OA
•(
OB
+
OC
)的最小值是
-8
-8
．
在△ABC中，O为平面上一定点，动点P满足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

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