题目内容
已知函数f（x）=
-x（0＜x＜
）。
（1）求f（x）的导数f′（x）；
（2）求证：不等式sin3x＞x3cosx在（0，
]上恒成立；
（3）求g（x）=
（0＜x≤
）的最大值。
-x（0＜x＜）。（1）求f（x）的导数f′（x）；
（2）求证：不等式sin3x＞x3cosx在（0，
]上恒成立；（3）求g（x）=
（0＜x≤）的最大值。解：（1）
；
（2）由（1）知
，其中f（0）=0，
令f′（x）=G（x），对G（x）求导数得G′（x）
=
在x∈（0，
）上恒成立，
故G（x）即f（x）的导函数在（0，
）上为增函数，
故f′（x）＞f′（0）=0，
进而知f（x）在（0，
）上为增函数，
故f（x）＞f（0）=0，
当x=
时，sin3x＞x3cosx显然成立，
于是有sin3x-x3cosx＞0在（0，
]上恒成立；
（3）∵由（2）可知sin3x-x3cosx＞0在（0，
]上恒成立，
则
在（0，
]上恒成立，
即g（x）在（0，
]单增，
于是g（x）≤g（
）=
，
故g（x）=
（0＜x≤
）的最大值为
。
；（2）由（1）知
，其中f（0）=0，令f′（x）=G（x），对G（x）求导数得G′（x）
=
在x∈（0，
）上恒成立，故G（x）即f（x）的导函数在（0，
）上为增函数，故f′（x）＞f′（0）=0，
进而知f（x）在（0，
）上为增函数，故f（x）＞f（0）=0，
当x=
时，sin3x＞x3cosx显然成立，于是有sin3x-x3cosx＞0在（0，
]上恒成立；（3）∵由（2）可知sin3x-x3cosx＞0在（0，
]上恒成立，则
在（0，]上恒成立，即g（x）在（0，
]单增，于是g（x）≤g（
）=，故g（x）=
（0＜x≤）的最大值为。
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已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x-y+2=0平行，若数列{
}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|