Question

设数列{a_n}为等差数列首项为a₁，公差d，数列{b_m}定义如下：对于正整数m，b_m是使得a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（1）若a1=

1

6

，d=

1

2

，求b₃；
（2）若a₁=1，d=2，求数列{b_m}的前2m的项和．

Answer 1

分析：（1）先写出数列{a_n}的通项公式，由a_n≥3求出n的最小值，即得b_3．
（2）先写出数列{a_n}的通项公式，由a_n≥m，得 b_m=

m+1 2 ，m为奇数 m 2 +1，m为偶数

，
在求和时，奇数项放在一起求和，偶数项放在一起求和，再把这2部分的结果相加．

解答：解：（1）若a1=

1

6

，d=

1

2

，则 an=

1

6

+

1

2

(n-1)=

1

2

n-

1

3

，
由a_n≥3，得 

1

6

+

1

2

(n-1)≥3，n≥

20

3

，
n的最小值为7
所以b₃=7．（7分）
（2）若a₁=1，d=2则a_n=2n-1
由a_n≥m  得 2n-1≥m ， n≥

m+1

2

，bm=

m+1 2       m为奇数      m 2 +1       m为偶数

；（11分）
∴b₁+b₂+b₃+…+b_2m=（b₁+b₃+b₅+…+b_2m-1）+（b₂+b₄+b₆+…+b_2m）
=（1+2+3+…+m）+（2+3+4+5+…（m+1））=

m(m+1)

2

+

m(m+3)

2

=m²+2m．
（16分）

点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，及数列求和问题．