Question

5．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{2^x}，x≤0}\\{{{log}_2}x，x＞0}\end{array}}\right.$
（1）在所给的平面直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（2）利用图象求f（x）=$\frac{1}{2}$时x的值；
（3）当0＜f（x）＜$\frac{1}{2}$时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分段作出函数图象；
（2）观察图象得出x的值；
（3）分x≤0和x＞0两种情况讨论解出x．

解答 解：（1）f（x）的图象如图所示：
（2）①若x≤0，则2^x=$\frac{1}{2}$，解得x=-1；
②若x＞0，则log₂x=$\frac{1}{2}$，解得x=$\sqrt{2}$．
综上，当f（x）=$\frac{1}{2}$时x=-1或x=$\sqrt{2}$．
（3）①若x≤0，则0＜2^x$＜\frac{1}{2}$，解得x＜-1，
②若x＞0，则0＜log₂x$＜\frac{1}{2}$，解得1$＜x＜\sqrt{2}$．
综上，当$0＜f（x）＜\frac{1}{2}$时，x的取值范围是（-∞，-1）∪（1，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查了分段函数的图象和性质，常涉及分类讨论思想，属于基础题．