Question

如图，已知AB为⊙O的弦，CD切⊙O于P，AC⊥CD于C，BD⊥DC于D，PQ⊥AB于Q．

求证：PQ²＝AC·BD．

Answer 1

答案：
解析：

证明：连结PA、PB，如图， 　　因为CD切⊙O于P， 　　所以∠1＝∠2． 　　因为AC⊥CD于C，PQ⊥AB于Q， 　　所以∠ACP＝∠PQB＝90°． 　　所以△ACP∽△PQB． 　　所以AC∶PQ＝AP∶PB． 　　同理，△BDP∽△PQA，所以PQ∶BD＝AP∶PB． 　　所以AC∶PQ＝PQ∶BD， 　　即PQ2＝AC·BD． 　　分析：欲证PQ2＝AC·BD，只需证AC∶PQ＝PQ∶BD，图中没有产生比例中项的条件，需要通过过渡比来解决．连结PA、PB，如图，利用弦切角定理，得到不相邻的两对直角三角形分别相似．