Question

在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c且b²+c²=bc+a²
（1）求∠A；
（2）若a=

3

，求b²+c²的取值范围．

Answer 1

（1）由余弦定理知：
cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，又A∈（0，π）
∴∠A=

π

3

（2）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2
∴b=2sinB，c=2sinC
∴b²+c²=4（sin²B+sin²C）=2（1-cos2B+1-cos2C）
=4-2cos2B-2cos2（

2π

3

-B）
=4-2cos2B-2cos（

4π

3

-2B）
=4-2cos2B-2（-

1

2

cos2B-

3

2

sin2B）
=4-cos2B+

3

sin2B
=4+2sin（2B-

π

6

），
又∵0＜∠B＜

2π

3

，∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

∴-1＜2sin（2B-

π

6

）≤2
∴3＜b²+c²≤6．