Question

已知函数f(x)=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极大值5，其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0)，如图所示.

求：(Ⅰ)x₀的值；

(Ⅱ)a，b，c的值.

Answer 1

解法一：

(Ⅰ)由图象可知，在(-∞,1)上f′(x)＞0，在(1,2)上f′(x)＜0,在(2,+∞)上f′(x)＞0,

    故f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上递增，在(1,2)上递减，因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x₀=1.

(Ⅱ)f′(x)=3ax²+2bx+c,

    由f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=5.

    得

    解得a=2,b=-9,c=12.

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)设f′(x)=m(x-1)(x-2)=mx²=3mx+2m,

    又f′(x)=3ax²+2bx+c,

    所以a=,b=-m,c=2m,f(x)=x³-mx²+2mx.

    由f(1)=5,

    即-m+2m=5,

    得m=6,

    所以a=2,b=-9,c=12.