Question

如图所示，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，已知DC＝DD₁＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC．

(Ⅰ)求证：D₁C⊥AC₁；

(Ⅱ)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D₁E∥平面A₁BD，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)证明：在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中， 　　连结C1D， 　　∵DC＝DD1， 　　∴四边形DCC1D1是正方形． 　　∴DC1⊥D1C． 　　又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D， 　　∴AD⊥平面DCC1D1， 　　D1C平面DCC1D1， 　　∴AD⊥D1C． 　　∵AD∩DC1＝D 　　∴D1C⊥平面ADC1， 　　又AC1平面ADC1， 　　∴DC1⊥AC1 　　(2)连结AD1，连结AE， 　　设AD1∩A1D＝M， 　　BD∩AE＝N，连结MN， 　　∵平面AD1E∩平面A1BD， 　　须使MN∥D1E， 　　又M是AD1的中点， 　　∴N是AE的中点． 　　又易知△ABN≌△EDN， 　　∴AB＝DE． 　　即E是DC的中点． 　　综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD．