题目内容

设函数数f（x）=2x+ $数学公式$ -1（x＜0），则f（x）

A.
有最大值
B.
有最小值
C.
是增函数
D.
是减函数

A
分析：利用基本不等式求最值时，一定要注意满足的条件，不是正数提出负号后再用基本不等式．
解答：∵x＜0，∴ $\text{[math]}$ ，
当且仅当 $\text{[math]}$ 即x= $\text{[math]}$ 取等号
故选项为A．
点评：利用基本不等式求最值，注意“一正”“二定”“三相等”要同时满足．

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设函数f（x）=e^x-e^-x
（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；
（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．

设函数y=f（x）为区间（0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f（x）≤1，可以用随机模拟方法计算由曲线y=f（x）及直线x=0，x=1，y=0所围成部分的面积S，先产生两组（每组N个），区间（0，1]上的均匀随机数x₁，x₂，…，x_n和y₁，y₂，…，y_n，由此得到V个点（x，y）（i-1，2…，N）．再数出其中满足y₁≤f（x）（i=1，2…，N）的点数N₁，那么由随机模拟方法可得S的近似值为

设函数f（x）=e^x-e^-x．
（1）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；
（2）若对所有x≥0都有 f（x²-1）＜e-e^-1，求x的取值范围．

设函数y=f（x）在区间D上的导数为f'（x），f'（x）在区间D上的导数为g（x），若在区间D上，g（x）＜0恒成立，则称函数y=f（x）在区间D上为“凸函数”已知实数m是常数，f(x)=

（1）若y=f（x）在区间[0，3]上为“凸函数”，求m的取值范围；
（2）若对满足|m|≤2的任何一个实数m，函数f（x）在区间（a，b）上都为“凸函数”，求b-a的最大值．

定义：设函数y=f（x）在（a，b）内可导，f'（x）为f（x）的导数，f''（x）为f'（x）的导数即f（x）的二阶导数，若函数y=f（x）在（a，b）内的二阶导数恒大于等于0，则称函数y=f（x）是（a，b）内的下凸函数（有时亦称为凹函数）．已知函数f（x）=xlnx
（1）证明函数f（x）=xlnx是定义域内的下凸函数，并在所给直角坐标系中画出函数f（x）=xlnx的图象；
（2）对?x₁，x₂∈R⁺，根据所画下凸函数f（x）=xlnx图象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]与x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小关系；
（3）当n为正整数时，定义函数N （n）表示n的最大奇因数．如N （3）=3，N （10）=5，…．记S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若

xi=1，证明：

xilnxi≥-ln2nln

（i，n∈N^*）．