Question

如图，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围.

Answer 1

解析:建立如图所示的直角坐标系，设双曲线方程为-=１．

∵双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.?

依题意，记A(-c,0),C(c₂,h),E(x₀,y₀)，其中c=|AB|，h是梯形的高.

由定比分点坐标公式得x₀=，y₀=.

∵点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线方程得

-，①?

²-（）²·=１.②?

由①得=-１,代入②并整理得

λ=.

又≤λ≤，得

≤≤.?

解得7≤e≤10.

∴双曲线离心率的取值范围为[7,10]．

温馨提示:λ=也可整理为ｅ²===-2,

观察知7≤e≤10.