Question

抛物线C：y=

1

4

x2的焦点为F．
（1）已知抛物线C上点A的横坐标为1，求在点A处抛物线C的切线方程；
（2）斜率为1的直线l过点F，与抛物线C相交于M、N两点，求线段MN的长．

Answer 1

分析：（1）先求点A的坐标，进而可求在点A处抛物线C的切线斜率，由此可得切线方程；
（2）求出过点F、斜率为1的直线l方程，与抛物线方程联立，求得交点坐标，进而可求线段MN的长．

解答：解：（1）当x=1时，y=

1

4

×12=

1

4

，即A(1，

1

4

)．（1分）
∵y′=

1

2

x，（3分）     
∴所求切线的斜率k=y'|_x=1=

1

2

×1=

1

2

．（5分）
∴所求切线方程为y-

1

4

=

1

2

×(x-1)，
即2x-4y-1=0．（6分）
（2）抛物线C：x²=4y，焦点F（0，1）（7分）
∵斜率为1的直线l过点F，
∴直线l的方程为y=x+1． （8分）
联立

x2=4y y=x+1

，
∴x²-4x-4=0
∴x=2±2

2

∴

x=2+2 2 y=3+2 2

，或

x=2-2 2 y=3-2 2

．（10分）
∴|MN|=

[(2+2 2 )-(2-2 2 )]2+[(3+2 2 )-(3-2 2 )]2

=8．
所以，线段MN的长为8． （12分）

点评：本题以抛物线方程为载体，考查切线方程，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是联立方程，求得交点坐标．