Question

15．已知函数f（x）=ax²+ax-1，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）＜0；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜0的解集为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据一元二次不等式和一元二次方程的根的关系即可求出．
（Ⅱ）当a=0时，直接验证；当a≠0时，可得则$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△={a}^{2}+4a＜0}\end{array}\right.$，解得a即可，

解答 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=2x²+2x-1，
∵f（x）=2x²+2x-1=0的两个根为$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$，和$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，
∴不等式f（x）＜0的解集为 $\left\{{x\left|{-\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}＜x}\right.＜\frac{{-1+\sqrt{3}}}{2}}\right\}$；
（Ⅱ）当a=0时，-1＜0成立，故解集为R，
当a≠0时，则$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△={a}^{2}+4a＜0}\end{array}\right.$，解得-4＜a＜0，
综上所述实数a的取值范围是（-4，0]．

点评 熟练掌握一元二次不等式的解集与二次项的系数及△的关系是解题的关键．