Question

在下列函数中：①y=

x2+2

x2+1

；②y=x+

4

x

-2；③y=

x

+

4

x

-2；④y=|x+

1

x

|；⑤y=log2x+logx2其中x＞0且x≠1；⑥y=3^x+3^-x．其中最小值为2的函数是

①③④⑥

（填入序号）．

Answer 1

分析：①y=

x2+2

x2+1

=

x2+1

+

1

x2+1

≥2，可判断
②y=x+

4

x

-2，当x＜0时，y=x+

4

x

-2=-[(-x)+(-

4

x

)]-2≤-2

(-x)•(- 4 x

)-2可判断
③由基本不等式可得，y=

x

+

4

x

-2≥2

x • 4 x

-2=2，可判断
④y=|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|≥2可判断
⑤当log₂x＜0时，y=log2x+logx2≤-2可判断
⑥y=3^x+3^-x≥2

3x•3-x

=2当且仅当3^x=3^-x即x=0时取等号可判断

解答：解：①∵y=

x2+2

x2+1

=

x2+1

+

1

x2+1

≥2，当且仅当x=0时取等号，故①正确
②y=x+

4

x

-2，当x＜0时，y=x+

4

x

-2=-[(-x)+(-

4

x

)]-2≤-2

(-x)•(- 4 x

)-2=-6，故②错误
③由基本不等式可得，y=

x

+

4

x

-2≥2

x • 4 x

-2=2，③正确
④y=|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|≥2；④正确
⑤当log₂x＜0时，y=log2x+logx2≤-2；⑤错误
⑥y=3^x+3^-x≥2

3x•3-x

=2当且仅当3^x=3^-x即x=0时取等号，⑥正确
故答案为：①③④⑥

点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是基本不等式的应用条件的判断