Question

(本小题满分13分)

已知几何体的三视图及直观图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．

（Ⅰ）求此几何体的体积的大小；

（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅲ）试探究在上是否存在点，使得

，并说明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由该几何体的三视图知面，且EC=BC=AC=4 ，BD=1，

∴．

∴．

即该几何体的体积V为16．

（Ⅱ）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）．

∴，

∴，∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．

（Ⅲ）设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则，

，．

∵AQBQ，    ∴． ①

 ∵点Q在ED上，∴存在使得，

∴．②

②代入①得，解得．

∴满足题设的点Q存在，其坐标为．