题目内容

已知抛物线的顶点在坐标原点O，焦点F在x正半轴上，倾斜角为锐角的直线l过F点．设直线l与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线交于M点， $数学公式$ =λ $数学公式$ ，其中λ＞0
（I）若λ=1，求直线l的斜率；
（II）若点A、B在x轴上的射影分别为A₁、B₁，且| $数学公式$ |，| $数学公式$ |，2| $数学公式$ |成等差数列，求λ的值．

解：依题意设抛物线方程为y²=2px（p＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的斜率为k，k＞0，M的纵坐标为y₀，
则F（ $\text{[math]}$ ，0），准线方程为x=- $\text{[math]}$ ，直线l的方程为y=k（x- $\text{[math]}$ ），M（- $\text{[math]}$ ，y₀），y₂＞0
因为 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ，所以（p，-y₀）=λ（x₂- $\text{[math]}$ ，y₀），故p=λ（x₂- $\text{[math]}$ ）
（I）若λ=1，由p=λ（x₂- $\text{[math]}$ ），y₂²=2px₂，y₂＞0，得x₂= $\text{[math]}$ ，y₂= $\text{[math]}$ p，
故点B的坐标为（ $\text{[math]}$ ）
所以直线l的斜率k= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （5分）
（II）联立y²=2px，y=k（x- $\text{[math]}$ ），消去y，可得k²x²-（k²p+2p）x+ $\text{[math]}$ =0，则x₁x₂= $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ （7分）
故 $\text{[math]}$ （9分）
因为| $\text{[math]}$ |，| $\text{[math]}$ |，2| $\text{[math]}$ |成等差数列，
所以| $\text{[math]}$ |+2| $\text{[math]}$ |=2| $\text{[math]}$ |，
故（x₂- $\text{[math]}$ ）+2（ $\text{[math]}$ -x₁）=p，即x₂-2x₁= $\text{[math]}$
将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 代入上式得 $\text{[math]}$
因为λ＞0，所以λ=2．（12分）
分析：（I）先确定p=λ（x₂- $\text{[math]}$ ），进而求出B的坐标，即可求直线l的斜率；
（II）直线方程代入抛物线方程，求得A₁、B₁的横坐标，根据| $\text{[math]}$ |，| $\text{[math]}$ |，2| $\text{[math]}$ |成等差数列，可得| $\text{[math]}$ |+2| $\text{[math]}$ |=2| $\text{[math]}$ |，从而可得x₂-2x₁= $\text{[math]}$ ，由此可求λ的值．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．