Question

已知函数f（x）=[ax²-（3+2a）x+a]•e^x+1，a≠0．
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x²+x-a）•e^x+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e^x+1，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，利用x=-1是函数f（x）的极大值点，可得

a＜0 a+3 a ＜-1

或

a＞0 a+3 a ＞-1

，从而求出参数的范围；（2）问题等价于（x²+1）a-x²-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，从而解不等式可得；（3）g（x）在区间[2，4]上不单调?ax²-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0，从而可解．

解答：解：（1）

f′(x)=(ax2-3x-a-3)ex+1 =[ax-(a+3)][x+1]ex+1=0

x1=-1，x2=

a+3

a

，
若x=-1是函数f（x）的极大值点，∴

a＜0 a+3 a ＜-1

或

a＞0 a+3 a ＞-1

，
解得，-

3

2

＜a＜0或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x²+x-a）•e^x+1?（x²+1）a-x²-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x²-4x-3≥0?-3≤x≤-1（10分）
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•e^x+1=[ax²-（3+2a）x+3a+6]•e^x+1
g′（x）=（ax²-3x+a+3）•e^x+1
g（x）在区间[2，4]上不单调?ax²-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
变量分离得，a=

3x-3

x2+1

令t(x)=

3x-3

x2+1

(x∈(2，4))，
求得t（x）的值域为(

9

17

，

3( 2 -1)

2

)
∴

9

17

＜a＜

3( 2 -1)

2

（15分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值，解决函数在区间上的不单调问题，通常转化为函数在区间上有解且△≠0