Question

（1）已知等差数列{a_n}，bn=

a1+a2+a3+…+an

n

（n∈N^*），求证：{b_n}仍为等差数列；
（2）已知等比数列{c_n}，c_n＞0（n∈N^*）），类比上述性质，写出一个真命题并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由求和公式可得b_n=

n(a1+an) 2

n

=

a1+an

2

，进而可得b_n+1-b_n为常数，可判为等差数列；
（2）类比命题：若{c_n}为等比数列，c_n＞0，（n∈N^*），d_n=

n	c1•c2…cn

，则{d_n}为等比数列，只需证明

dn+1

dn

为常数即可．

解答：解：（1）由题意可知b_n=

n(a1+an) 2

n

=

a1+an

2

，
∴b_n+1-b_n=

a1+an+1

2

-

a1+an

2

=

an+1-an

2

，
∵{a_n}等差数列，∴b_n+1-b_n=

an+1-an

2

=

d

2

为常数，（d为公差）
∴{b_n}仍为等差数列；
（2）类比命题：若{c_n}为等比数列，c_n＞0，（n∈N^*），
d_n=

n	c1•c2…cn

，则{d_n}为等比数列，
证明：由等比数列的性质可得：d_n=

n	(c1cn) n 2

=

c1cn

，
故

dn+1

dn

=

cn+1 cn

=

q

为常数，（q为公比）
故{d_n}为等比数列

点评：本题考查等差数列的定义，涉及类比推理和等比数列的定义，属中档题．