Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，∠BAD=60°．
（1）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值
（2）求PB与AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）证明BD⊥平面PAC，设AC∩BD=O，则PB在平面PAC的射影为PO，所以∠BPO即为所求；
（2）建立空间直角坐标系，求出

PB

=（1，

3

，-2），

AC

=（0，2

3

，0），利用向量的夹角公式，即可求PB与AC所成角的余弦值．

解答：解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．
因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．
设AC∩BD=O，则PB在平面PAC的射影为PO，所以∠BPO即为所求
因为PA=AB=2，∠BAD=60°，
所以PB=2

2

，BO=1
所以sin∠BPO=

BO

PB

=

2

4

…（6分）
（2）因为∠BAD=60°，PA=AB=2，所以BO=1，AO=CO=

3

如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，
则P（0，-

3

，2），A（0，-

3

，0），B（1，0，0），C（0，

3

，0）．
所以

PB

=（1，

3

，-2），

AC

=（0，2

3

，0），
设PB与AC所成角为θ，则cosθ═

6

2 2 ×2 3

=

6

4

．…（12分）

点评：本题考查线面角，考查线线角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．