Question

已知函数f(x)=2asin

x

2

cos

x

2

+sin2

x

2

-cos2

x

2

（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）当a=2时，在f（x）=0的条件下，求

cos2x

1+sin2x

的值．

Answer 1

分析：（I）a=1，化简可得f（x）=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，根据三角函数的性质求解
（II）a=2，化简可得f（x）=2sinx-cosx=0?tanx=

1

2

，再把所求的值

cos2x

1+sin2x

结合二倍角公式、由“弦”化“切”的技巧化简，把tanx=

1

2

代入求值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinx-cosx（一个公式1分）（2分）
=

2

sin(x-

π

4

)（4分）
最小正周期为2π，（5分）
由x-

π

4

=kπ+

π

2

，得x=kπ+

3π

4

(k∈Z)．（标注1分）（7分）
（Ⅱ）当f（x）=0时解得tanx=

1

2

（10分）

cos2x

1+sin2x

=

cos2x-sin2x

(cosx+sinx)2

（12分）
=

cosx-sinx

cosx+sinx

=

1-tanx

1+tanx

=

1

3

（14分）

点评：（I）主要考查了利用二倍角的正弦、余弦公式化简三角函数，然后利用两角差的正弦公式配成y=Asin（wx+φ）的形式，结合三角函数的性质进行求解
（II）考查了二倍角公式的应用与由“弦：化”切“的技巧：分子分母同除以cosx（或sinx）