Question

已知抛物线方程为，过点作直线与抛物线交于两点,，过分别作抛物线的切线，两切线的交点为.
（1）求的值；
（2）求点的纵坐标；
（3）求△面积的最小值.

Answer 1

（1）-8；（2）-2：（3）．

试题分析：
解题思路：（1）联立直线与抛物线方程，整理得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求两根之积即可；（2）由导数的几何意义求切线方程，联立方程，解方程组即得P点纵坐标；（3）求弦长和面积，再利用基本不等式求最值.
规律总结：直线与抛物线的位置关系，是高考数学的重要题型，其一般思路是联立直线与抛物线的方程，整理得到关于或的一元二次方程，采用“设而不求”的方法进行解答，综合型较强.
试题解析：（1）由已知直线的方程为，代入得，，∴，.        
（2）由导数的几何意义知过点的切线斜率为，       
∴切线方程为，化简得  ① 
同理过点的切线方程为                  ②   
由，得，              ③
将③代入①得，∴点的纵坐标为.            
（3)设直线的方程为，
由（1）知，，
∵点到直线的距离为，     
线段的长度为
.                     ，  
当且仅当时取等号，∴△面积的最小值为.