Question

已知函数f(x)=x³-ax-1.

（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）是否存在实数a，使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；

（3）证明f(x)=x³-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.

Answer 1

解析：f′(x)=3x²-a,

(1)3x²-a＞0在R上恒成立，∴a＜0.

又a=0时，f(x)=x³-1在R上单调递增，∴a≤0.

(2)3x²-a＜0在（-1，1）上恒成立，即a＞3x²在（-1，1）上恒成立，即a＞3.

又a=3，f(x)=x³-3x-1,f′(x)=3(x²-1)在(-1,1)上,f′(x)＜0恒成立，即?f(x)在(-1,1)上单调递减，∴a≥3.

(3)当x=-1时，f(-1)=a-2＜a，

因此f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.