Question

设关于x的函数f（x）=-cos²x-2msinx+m²+2m的最小值是m的函数，记为g（m）．
（1）求g（m）的解析表达式；
（2）当g（m）=5时，求m的值；
（3）如果方程f（x）=0在x∈（0，π）有两不相等的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对f（x）进行变形：f（x）=sin²x-2msinx+m²+2m-1，令t=sinx，则t∈[-1，1]，函数可变为h（t）=t²-2mt+m²+2m-1=（t-m）²+2m-1，按对称轴与区间[-1，1]的位置分三种情况讨论即可求得g（0）；
（2）由（1）分三种情况解g（m）=5即可；
（3）方程f（x）=0在x∈（0，π）有两不相等的解，等价于h（t）=t²-2mt+m²+2m-1=0在t∈（0，1）上有一解，问题转化为函数h（t）（0，1）上有一个零点，由此即可得到关于m的限制条件；

解答：解：（1）f（x）=sin²x-2msinx+m²+2m-1，
令t=sinx，则t∈[-1，1]，
则函数可变为h（t）=t²-2mt+m²+2m-1=（t-m）²+2m-1，
图象开口向上，对称轴为t=m，
①当m＜-1时，g（m）=h（-1）=m²+4m；
②当-1≤m≤1时，g（m）=h（m）=2m-1；
③当m＞1时，g（m）=h（1）=m²．
所以g（m）=

m2+4m，m＜-1 2m-1，-1≤m≤1 m2，m＞1

．
（2）当g（m）=5时，
若m＜-1，有m²+4m=5，解得m=-5或m=1（舍）；
若-1≤m≤1，有2m-1=5，解得m=3（舍）；
若m＞1，有m²=5，解得m=

5

或-

5

（舍）；
综上知，m=-5或m=

5

．
（3）方程f（x）=0在x∈（0，π）有两不相等的解，由（1）知：等价于h（t）=t²-2mt+m²+2m-1=0在t∈（0，1）上有一解，
则

0＜m＜1 △=4m2-4(m2+2m-1)=0

或h（0）•h（1）＜0，即m=

1

2

或（m²+2m-1）m²＜0，所以m=

1

2

或-1-

2

＜m＜-1+

2

，且m≠0，
所以m的取值范围为：m=

1

2

或m∈（-1-

2

，0）∪（0，-1+

2

）．

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值问题、分段函数求值及函数的零点，属中档题，本题具有一定综合性，需要掌握相关基础知识．