Question

已知函数f(x)=

2ax-a2+1

x2+1

（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析：（I）把a=1代入，先对函数求导，然后求f（2），根据导数的几何意义可知，该点切线的斜率k=f′（2），从而求出切线方程．
（II）先对函数求导，分别解f′（x）＞0，f′（x）＜0，解得函数的单调区间，根据函数的单调性求函数的极值．

解答：解：
（I）解：当a=1时，f(x)=

2x

x2+1

，f(2)=

4

5

．
又f′(x)=

2(x2+1)-2x.2x

(x2+1)2

=

2-2x2

(x2+1)2

，f′(2)=-

6

25

．
所以，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-

4

5

=-

6

25

(x-2)，即6x+25y-32=0．

（II）解：f′(x)=

2a(x2+1)-2x(2ax-a2+1)

(x2+1)2

=

-2(x-a)(ax+1)

(x2+1)2

．
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
（1）当a＞0时，令f'（x）=0，得到x1=-

1

a

，x2=a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在区间(-∞，-

1

a

)，（a，+∞）内为减函数，在区间(-

1

a

，a)内为增函数．
函数f（x）在x1=-

1

a

处取得极小值f(-

1

a

)，且f(-

1

a

)=-a2．
函数f（x）在x₂=a处取得极大值f（a），且f（a）=1．
（2）当a＜0时，令f'（x）=0，得到x1=a，x2=-

1

a

．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在区间（-∞，a），(-

1

a

，+∞)内为增函数，在区间(a，-

1

a

)内为减函数．
函数f（x）在x₁=a处取得极大值f（a），且f（a）=1．
函数f（x）在x2=-

1

a

处取得极小值f(-

1

a

)，且f(-

1

a

)=-a2．

点评：本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法．