Question

3．如图，已知扇形周长2+$\frac{2}{3}$π，面积为$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=1．
（1）求∠AOB的大小；
（2）如图所示，当点C在以O为圆心的圆弧$\widehat{AB}$上变动．若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x、y∈R，求xy的最大值与最小值的和；
（3）若点C、D在以O为圆心的圆上，且$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{DO}$．问$\overrightarrow{BC}$ 与$\overrightarrow{AD}$的夹角θ取何值时，$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AD}$的值最大？并求出这个最大值．

Answer 1

分析 （1）设扇形的半径为r，∠AOB=θ．利用扇形面积计算公式与弧长公式可得$\left\{\begin{array}{l}{2r+θr=2+\frac{2π}{3}}\\{\frac{1}{2}θ•{r}^{2}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得即可；
（2）如图所示，建立直角坐标系．则A（1，0），B$（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．设C（cosα，sinα）.$α∈[0，\frac{2π}{3}]$．由于$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{2}y=cosα}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}y=sinα}\end{array}\right.$，可得xy=$\frac{2}{3}sin（2α-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{3}$，即可得出最值．
（3）设C（cosα，sinα），由$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{DO}$，可得D（-cosα，-sinα），由（2）可得：$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AD}$=$（cosα+\frac{1}{2}，sinα-\frac{\sqrt{3}}{2}）$•（-cosα-1，-sinα）=$\sqrt{3}sin（α-\frac{π}{3}）$-$\frac{3}{2}$．
由α∈[0，2π），可得$（α-\frac{π}{3}）$∈$[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}）$，$sin（α-\frac{π}{3}）$∈[-1，1]．可得$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AD}$的最大值为$\sqrt{3}-\frac{3}{2}$，当$α-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，取得最大值．此时$\overrightarrow{BC}$=$（\frac{1-\sqrt{3}}{2}，\frac{1-\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{AD}$=$（\frac{\sqrt{3}-2}{2}，-\frac{1}{2}）$．再利用向量夹角公式可得cosθ=$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可得出．

解答 解：（1）设扇形的半径为r，∠AOB=θ．
∵扇形周长2+$\frac{2}{3}$π，面积为$\frac{π}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2r+θr=2+\frac{2π}{3}}\\{\frac{1}{2}θ•{r}^{2}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{θ=\frac{2π}{3}}\\{r=1}\end{array}\right.$．
∴∠AOB=$\frac{2π}{3}$．
（2）如图所示，建立直角坐标系．
则A（1，0），B$（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．设C（cosα，sinα）.$α∈[0，\frac{2π}{3}]$．
∵$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{1}{2}y=cosα}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}y=sinα}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{sinα}{\sqrt{3}}+cosα}\\{y=\frac{2sinα}{\sqrt{3}}}\end{array}\right.$，
∴xy=$\frac{2si{n}^{2}α}{3}$+$\frac{\sqrt{3}sin2α}{3}$=$\frac{1-cos2α}{3}$+$\frac{\sqrt{3}sin2α}{3}$=$\frac{2}{3}sin（2α-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{3}$，
∵$α∈[0，\frac{2π}{3}]$，∴$（2α-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$．
∴$sin（2α-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{1}{2}，1]$，
∴xy∈[0，1]．
∴xy的最大值与最小值的和为1．
（3）设C（cosα，sinα），∵$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{DO}$，∴D（-cosα，-sinα），
由（2）可得：$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AD}$=$（cosα+\frac{1}{2}，sinα-\frac{\sqrt{3}}{2}）$•（-cosα-1，-sinα）
=$-（cosα+\frac{1}{2}）（cosα+1）$-$sinα（sinα-\frac{\sqrt{3}}{2}）$
=-$co{s}^{2}α-\frac{3}{2}cosα$-$\frac{1}{2}$-$si{n}^{2}α+\frac{\sqrt{3}}{2}sinα$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinα-\frac{3}{2}cosα-\frac{3}{2}$
=$\sqrt{3}sin（α-\frac{π}{3}）$-$\frac{3}{2}$．
∵α∈[0，2π），
∴$（α-\frac{π}{3}）$∈$[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{3}）$，
∴$sin（α-\frac{π}{3}）$∈[-1，1]．
∴$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AD}$的最大值为$\sqrt{3}-\frac{3}{2}$，当$α-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即$α=\frac{5π}{6}$时，取得最大值．
此时$\overrightarrow{BC}$=$（\frac{1-\sqrt{3}}{2}，\frac{1-\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{AD}$=$（\frac{\sqrt{3}-2}{2}，-\frac{1}{2}）$．
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AD}$=$\sqrt{3}-\frac{3}{2}$，$|\overrightarrow{BC}|$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，$|\overrightarrow{AD}|$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}-2}{2}）^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{\sqrt{3}-\frac{3}{2}}{（\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$θ=\frac{π}{6}$．
∴$\overrightarrow{BC}$ 与$\overrightarrow{AD}$的夹角θ=$\frac{π}{6}$，$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AD}$的值最大为$\sqrt{3}-\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式、扇形的弧长与面积计算公式、三角函数化简与计算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．