题目内容

已知 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ．
（1）求θ的大小；　
（2）若 $数学公式$ ，求cosx的值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =（cosθ，-sinθ）， $\text{[math]}$ =（cosθ，sinθ）且 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
∴cos²θ-sin²θ=- $\text{[math]}$ ，
∴cos2θ=- $\text{[math]}$ ，又θ∈（0， $\text{[math]}$ ），
∴2θ= $\text{[math]}$ ，
∴θ= $\text{[math]}$ ；
（2）∵θ= $\text{[math]}$ ，sin（x+θ）= $\text{[math]}$ ，
∴sin（x+θ）=sin（x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∵x∈（ $\text{[math]}$ ，π），
∴x+ $\text{[math]}$ ∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴cos（x+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ，
∴cosx=cos[（x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]
=cos（x+ $\text{[math]}$ ）cos $\text{[math]}$ +sin（x+ $\text{[math]}$ ）sin $\text{[math]}$
=- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用向量垂直的坐标间的关系式即可求得θ的大小；
（2）结合（1），利用两角差的余弦公式即可求得cosx的值．
点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数中的恒等变换应用，突出考查两角差的余弦，属于中档题．