Question

矩形ABCD中，AB=20，AD=10

3

，H是AB中点，E，F分别在边BC和AD上运动，∠EHB=?，∠FHE是直角，
（1）将△EFH的周长L表示成?的函数，并写出定义域
（2）若sinθ+cosθ=

2

，求L
（3）当取何值时，L最长，求出L的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的定义，分别求出FH，EH，EF，进而求得周长及定义域．
（2）利用sinθ+cosθ=

2

，直接带入即可求L．
（3）设sinθ+cosθ=t，代入L的解析式中，利用θ的范围判断出t的范围，进而求得L的最大值．

解答：解：（1）∵△EHF是直角三角形，∠BHE=θ，
∴∠AFH=θ，∵AB=2，H是AB中点，
∴AH=FHsinθ=1，FH=

10

sinθ

，同理EH=

10

cosθ

，EF=

( 10 sinθ )2+( 10 cosθ )2

=

10

sinθcosθ

∴L=FH+EH+EF=

10

sinθ

+

10

cosθ

+

10

sinθcosθ

=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

，当F与D重合时，θ取到最小值

π

6

，
当E与C重合时，θ取到最大值

π

3

，
∴θ∈[

π

6

，

π

3

]，
∴L=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

，θ∈[

π

6

，

π

3

]；
（2）若sinθ+cosθ=

2

，则平方得1+2sinθcosθ=2，
即sinθcosθ=

1

2

，
∴L=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

=

10( 2 +1)

1 2

=20（

2

+1）．
（3）令sinθ+cosθ=t，则sinθcosθ=

t2-1

2

，t=

2

sin（θ+

π

4

）
∴L=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

=

10(t+1)

t2-1 2

=

20(t+1)

(t+1)(t-1)

=

20

t-1

∵θ∈[

π

6

，

π

3

]，
∴θ+

π

4

∈[

5π

12

，

7π

12

]，t=

2

sin（θ+

π

4

）∈[

6 + 2

4

，

2

]，
∵L=

20

t-1

在[

6 + 2

4

，

2

]上单调递减，
∴当t=

6 + 2

4

，即θ=

π

6

时，函数L的最大值为

20(3+ 3 )

3

=20(

3

+1)．

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．涉及了通过三角函数的数学模型解决实际问题的问题．综合性较强，难度较大．