Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（λ+1）-λa_n（λ≠0，-1）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若

lim

n→∞

Sn的值存在，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由S_n=（λ+1）-λa_n⇒S_n-1=（λ+1）-λa_n-1（n≥2），利用递推关系可得

an

an-1

=

λ

1+λ

，结合a₁=1可得{a_n}是等比数列，结合等比数列的通项公式可求
（2）先由等比数列的求和公式求出S_n，由

lim

n→∞

Sn的值存在，可得|λ|＜|1+λ|，解不等式可求

解答：解：（1）由S_n=（λ+1）-λa_n⇒S_n-1=（λ+1）-λa_n-1（n≥2）
∴（1+λ）a_n=λa_n-1，
∵λ≠0，-1
∴

an

an-1

=

λ

1+λ

，
∵a₁=1
∴{a_n}是以1为首项，

λ

1+λ

为公比的等比数列，故an=(

λ

1+λ

)n-1
（2）∵Sn=

1-( λ 1+λ )n

1- λ 1+λ

=(1+λ)[1-(

λ

1+λ

)n]
若

lim

n→∞

Sn的值存在，则|λ|＜|1+λ|
∴λ＞-

1

2

且λ≠0．

点评：本题主要考查了数列的递推关系及等比数列的通项公式在数列的通项求解中的应用，数列极限的存在条件的应用