题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，直线l：y=-x+2
2
与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M（0，t）的直线l′（斜率存在时）与椭圆C交于P、Q两点，设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且|DP|=|DQ|，求实数t的取值范围．
分析：（1）由直线l：y=-x+2
2
与圆为x2+y2=b2，相切，利用点到直线的距离公式可求b，由e=
c
a
及a2=b2+c2可求a，进而可求椭圆C的方程
（2）当直线的斜率k=0时，容易求t的范围；而k≠0时，设直线线l′的方程为y=kx+t，联立方程，由△＞0，可得t，k的不等式，然后结合方程的根与系数关系可求x1+x2，y1+y2=k（x1+x2）+2t，从而可求PQ中点H，由|DP|=|DQ|可得DH⊥PQ，利用斜率关系可求t，k的方程，联立可求t的范围
解答：解：（1）以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2，
由直线l：y=-x+2
2
与圆相切可知，
2
2
2
=b即b=2
∵e=
c
a
=
6
3

∴a2=3b2
∵a2=b2+c2
∴a=2
3

∴椭圆C的方程
x2
12
+
y2
4
=1
（2）当直线的斜率k=0时，-2＜t＜2
k≠0时，设直线线l′的方程为y=kx+t
联立方程
y=kx+t
x2
12
+
y2
4
=1
可得（1+3k2）x2+6ktx+3t2-12=0
则△=36k2t2-4（1+3k2）（3t2-12）＞0，
∴t2＜4+12k2①，且x1+x2=
-6kt
1+3k2
，y1+y2=k（x1+x2）+2t
取PQ中点H，则H(-
3kt
1+3k2
，
t
1+3k2
)由|DP|=|DQ|可得DH⊥PQ
∵D（0，-2）
∴
t
1+3k2
+2
-
3kt
1+3k2
•k=-1
∴t=1+3k2＞1②
①②联立可得
t2＜4t
t＞1

∴t∈（1，4）
综上，t∈（-2，4）
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解
练习册系列答案
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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