Question

（2013•淄博一模）设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在直线y=

3

2

x-1上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列，求数列{

1

dn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知，Sn=

3

2

an-1，得Sn-1=

3

2

an-1-1（n∈N^*，n≥2），两式相减可得数列递推式，由此可判断数列{a_n}为等比数列，从而可得其通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a_n+1，a_n，根据等差数列的通项公式可得d_n，从而可得

1

dn

，令Tn=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

，则Tn=

2

4×30

+

3

4×31

+…+

n+1

4×3n-1

，利用错位相减法即可求得T_n；

解答：解：（Ⅰ）由题设知，Sn=

3

2

an-1，得Sn-1=

3

2

an-1-1（n∈N^*，n≥2），
两式相减得：an=

3

2

(an-an-1)，即a_n=3a_n-1（n∈N^*，n≥2），
又S₁=

3

2

a1-1得a₁=2，
所以数列{a_n}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以an=2•3n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an+1=2•3n，an=2•3n-1，
因为a_n+1=a_n+（n+1）d_n，所以dn=

4×3n-1

n+1

，
所以

1

dn

=

n+1

4×3n-1

，
令Tn=

1

d1

+

1

d2

+

1

d3

+…+

1

dn

，
则Tn=

2

4×30

+

3

4×31

+

4

4×32

+…+

n+1

4×3n-1

①，

1

3

Tn=

2

4×31

+

3

4×32

+

4

4×33

+…+

n+1

4×3n

②，
①-②得

2

3

Tn=

2

4×30

+

1

4×31

+

1

4×32

+…+

1

4×3n-1

-

n+1

4×3n

=

1

2

+

1

4

×

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

4×3n

=

5

8

-

2n+5

8×3n

，
∴Tn=

15

16

-

2n+5

16×3n-1

；

点评：本题考查数列的函数特性、由数列递推式求通项公式、等差数列及错位相减法求数列的前n项和，考查学生综合运用知识解决问题的能力，综合性较强，能力要求较高．