Question

已知函数f（x）=2sinx+cosx在[0，

π

2

]上取得最大值

5

，则tanx=

2

．

Answer 1

分析：根据辅角公式将函数的解析式化简为：f（x）=

5

sin（x+φ）（其中tanφ=

1

2

），再利用整体的思想并且结合正弦函数的性质求出答案．

解答：解：由辅角公式可得：f（x）=

5

sin（x+φ）（其中tanφ=

1

2

，并且φ为锐角），
由题意可得：当f（x）有最大值

5

时，即有sin（x+φ）=1，
所以x+φ=2kπ+

π

2

，即x=2kπ+

π

2

-φ，
因为x∈[0，

π

2

]，
所以x=

π

2

-φ
所以tanx=tan（

π

2

-φ）=cotφ=

1

tan?

=2．
故答案为2．

点评：本题主要考查利用辅助角法将函数的解析式转化为同一个角的同一种三角函数的解析式，以及借助于三角函数的有关性质用整体思想求函数的值域．