Question

已知．
（I）求函数f（x）的最小值；
（ II）当x＞2a，证明：．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣ = ．
当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
当x=a时，f（x）取得极小值也是最小值f（a）= a²﹣a²lna．
（Ⅱ）由（Ⅰ），f（x）在（2a，+∞）单调递增，
则所证不等式等价于f（x）﹣f（2a）﹣ a（x﹣2a）＞0．
设g（x）=f（x）﹣f（2a）﹣ a（x﹣2a），
则当x＞2a时， g′（x）=f′（x）﹣ a=x﹣ ﹣ a= ＞0，
所以g（x）在[2a，+∞）上单调递增，
当x＞2a时，g（x）＞g（2a）=0，即f（x）﹣f（2a）﹣ a（x﹣2a）＞0，
故 ＞ a．