Question

已知某工厂生产并销售某种产品，每月生产该产品的成本C（x）（单位：万元）与产品数量x（单位：吨）之间的函数关系为C(x)=

a-1

2

x2+lnx，每吨该产品的销售价为a万元．且为保证设备的正常运转，每月至少生产1吨该产品．
（1）若a=2，且每月的生产能力不超过5吨，求C（x）的变化范围；
（2）若需要保证在该产品的生产销售中不出现亏本，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）写出函数解析式，确定函数在[1，5]上单调递增，即可得到结论；
（2）由题意，ax-

a-1

2

x2-lnx≥0（x≥1），令y=ax-

a-1

2

x2-lnx（x≥1），求导函数，分类讨论，求最值，可求a的取值范围．

解答：解：（1）由题意，1≤x≤5，C(x)=

1

2

x2+lnx，
∴C′(x)=

x2+1

x

＞0，∴函数在[1，5]上单调递增，∴

1

2

≤C（x）≤

25

2

+ln5；
（2）由题意，ax-

a-1

2

x2-lnx≥0（x≥1），
令y=ax-

a-1

2

x2-lnx（x≥1），则y′=a-(a-1)x-

1

x

=-

(x-1)[(a-1)x-1]

x

1°0＜a＜1时，y′＞0，函数在[1，+∞）上单调递增，∴a-

a-1

2

≥0，∴a≥-1，∴0＜a＜1；
2°1＜a≤2时，函数在[1，

1

a-1

）上单调递增，在[

1

a-1

，+∞）上单调递减，函数无最小值；
3°a＞2时，y′＜0，函数在[1，+∞）上单调递减，∴函数无最小值，
综上：0＜a＜1．

点评：本题考查利用函数知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．