Question

求a的取值范围，使方程log_a（x-3）-log_a（x+2）-log_a（x-1）=1有实根．

Answer 1

分析：log_a（x-3）-log_a（x+2）-log_a（x-1）等价于

x-3

(x+2)(x-1)

=a，即ax²+（a-1）x+3-2a=0，故方程ax²+（a-1）x+3-2a=0，
a＞0且a≠1有实根的充要条件是

(a-1)2-4a(3-2a)≥0 a＞0 a≠1

，由此可以求出a的取值范围．

解答：解：∵log_a（x-3）-log_a（x+2）-log_a（x-1）=1，∴loga

x-3

(x+2)(x-1)

=1，∴

x-3

(x+2)(x-1)

=a，∴ax²+（a-1）x+3-2a=0．∵a是对数的底，∴a＞0，且a≠1．
方程ax²+（a-1）x+3-2a=0，a＞0且a≠1有实根的充要条件是

(a-1)2-4a(3-2a)≥0 a＞0 a≠1

，
解得a≥

7+2 10

9

或0＜a≤

7-2 10

9

．
故a的取值范围是{a|a≥

7+2 10

9

或0＜a≤

7-2 10

9

}．

点评：本题是对数函数的综合题，解题时要注意对数的运算法则，想办法把对数方程有实根的问题等价转化为一元二次方程有实根的问题．