Question

已知数列满足：且对任意的有.

(Ⅰ)求数列的通项公式；

（Ⅱ）是否存在等差数列，使得对任意的有成立？证明你的结论

Answer 1

(Ⅰ)

（Ⅱ），即

解析:

(Ⅰ)解：∵

        ∴ 

∴数列是首项为（），公比为2的等比数列，………………4分

， 

，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列

，∴…                      …………………7分

（Ⅱ）令代入得：

解得: 

由此可猜想，即 …………………10分

下面用数学归纳法证明：

（1）当n＝1时，等式左边＝1，右边＝,

当n＝1时，等式成立，

（2）假设当n＝k时，等式成立，即 

当n＝k＋1时

 

∴当n＝k＋1时，等式成立，

综上所述，存在等差数列，使得对任意的有成立。              …………………14分