Question

设f（x）=x³-

x2

2

-2x+5．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x∈[1，2]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的单调区间可用导数法求，先求出f（x）的导数，令其大于0，求出函数的增区间，令导数小于0求出函数的减区间．
（2）当x∈[1，2]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围即求函数f（x）=x³-

x2

2

-2x+5的最大值的问题，由（1）知，函数f（x）=x³-

x2

2

-2x+5的最大值在x=2处取，求出f（2）=7．可得m＞7．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-x-2=0，得x=1，-

2

3

．
在（-∞，-

2

3

）和[1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在（-

2

3

，1）上f′（x）＜0，f（x）为减函数．
所以所求f（x）的单调增区间为（-∞，-

2

3

]和[1，+∞），单调减区间为[-

2

3

，1]．
（2）由（1）知，当x∈[1，2]时，f′（x）＞0，
∴f（x）为增函数，
∴f（x）≤f（2）=7．
∴m＞7时，对任意的x∈[1，2]，f（x）＜m恒成立，．
故实数m的取值范围是m＞7．

点评：本题考查用导数求函数的单调性及最值，这是导数的重要运用．