Question

（2010•福建模拟）函数f（x）=xsinx，若α、β∈[-

π

2

，

π

2

]，且f（α）＞f（β），则以下结论正确的是（　　）

A．α＞β

B．α＜β

C．|α|＜|β|

D．|α|＞|β|

Answer 1

分析：f（x）=xsinx，⇒f（-x）=f（x）?f（|x|）=f（x），可令0≤x≤

π

2

，f′（x）=sinx+xcosx＞0，⇒f（x）=xsinx在[0，

π

2

]上单调递增，由f（α）＞f（β）?f（|α|）＞f（|β|）即可得答案．

解答：解：∵f（x）=xsinx，
∴f（-x）=f（x），
∴f（|x|）=f（x），
不妨令0≤x≤

π

2

，则f′（x）=sinx+xcosx＞0，
∴f（x）=xsinx在[0，

π

2

]上单调递增；
∵f（α）＞f（β），f（|α|）=f（α），f（β）=f（|β|），
∴f（|α|）＞f（|β|），由f（x）=xsinx在[0，

π

2

]上单调递增得：
|α|＞|β|．
故选D．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，难点在于讨论f（x）=xsinx在[0，

π

2

]上的单调性，考查学生综合分析与应用的能力，属于难题．