Question

【选修4-1：几何证明选讲】
如图，梯形ABCD内接于圆O，AD∥BC，且AB=CD，过点B引圆O的切线分别交DA、CA的延长线于点E、F．
（1）求证：CD²=AE•BC；
（2）已知BC=8，CD=5，AF=6，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）由已知条件，利用直线平行的性质和弦切角定理推导出△EAB∽△ABC，由此能证明CD²=AE•BC．
（2）由已知条件和（1）先求出AE，再由三角形相似的判定定理得到△FEA∽△FAB，由此能求出结果．

解答：解：（1）因为AD∥BC，所以∠EAB=∠ABC．
又因为FB与圆O相切于点B，
所以∠EBA=∠ACB，
所以△EAB∽△ABC，
所以

AE

BA

=

AB

BC

，即AB²=AE•BC，
因为AB=CD，所以CD²=AE•BC．
（2）因为AB²=AE•BC，BC=8，CD=5，AF=6，AB=CD，
所以AE=

AB2

BC

=

25

8

，
因为AD∥BC，所以∠FAE=∠ACB，
又因为∠EBA=∠ACB，
所以∠FAE=∠EBA，∠F=∠F，
所以△FEA∽△FAB，
所以

AE

AB

=

EF

AF

，
所以EF=

AE

AB

•AF=

15

4

．

点评：本题考查三角形相似的应用，考查与圆有关的线段长的求法，解题时要注意弦切角定理和三角形相似的性质的灵活运用．