Question

数列{a_n}中,a_n=23-2n,当n为何值时,其前n项和S_n取得最大值?

   

Answer 1

解:∵a_n=23-2n,

∴a₁=21.

∴S_n==22n-n².

    由于它是关于n的二次函数,

∴当n=11时,S_n取得最大值.

    还有没有其他方法呢?

    由于S₁=21=S₂₁,而S_n是关于n的二次函数,∴S_n的图象的对称轴为n=11,故当n=11时,S_n取得最大值.

    另一方面,注意到S_n是关于n的离散型函数,且S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n,

∴当a_n≥0时,S_n≥S_n-1,即{S_n}递增;当a_n≤0时,S_n≤S_n-1,即{S_n}递减.

    于是问题转化为:满足a_n≥0的最大自然数n即为所求.

    由a_n=23-2n≥0,得n≤,故当n=11时,S_n取得最大值.