Question

（2012•辽宁）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（　　）

• A．e^x≤1+x+x²
• B．

  1

  1+x

  ≤1-

  1

  2

  x+

  1

  4

  x2
• C．cosx≥1-

  1

  2

  x2
• D．ln(1+x)≥x-

  1

  8

  x2

Answer 1

分析：对于A，取x=3，e³＞1+3+3²，；
对于B，令x=1，

1

2

，计算可得结论；
对于C，构造函数h(x)=cosx-1+

1

2

x2，h′（x）=-sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，从而可得函数h(x)=cosx-1+

1

2

x2在[0，+∞）上单调增，故成立；
对于D，取x=3，ln(1+3)＜3-

9

8

．

解答：解：对于A，取x=3，e³＞1+3+3²，所以不等式不恒成立；
对于B，x=1时，左边=

2

2

，右边=0.75，不等式成立；x=

1

2

时，左边=

6

3

，右边=

13

16

，左边大于右边，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；
对于C，构造函数h(x)=cosx-1+

1

2

x2，h′（x）=-sinx+x，h″（x）=cosx+1≥0，∴h′（x）在[0，+∞）上单调增
∴h′（x）≥h′（0）=0，∴函数h(x)=cosx-1+

1

2

x2在[0，+∞）上单调增，∴h（x）≥0，∴cosx≥1-

1

2

x2；
对于D，取x=3，ln(1+3)＜3-

9

8

，所以不等式不恒成立；
故选C．

点评：本题考查大小比较，考查构造函数，考查导数知识的运用，确定函数的单调性是解题的关键．