题目内容
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为
，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上有一点P，∠F1PF2=
，且△PF1F2的面积为3
，求椭圆的方程．
| 4 |
| 5 |
| π |
| 3 |
| 3 |
分析：根据点P是椭圆的左支上的一点，及双曲线的定义可知|PF2|+|PF1|=2a，由，∠F1PF2=
，且△PF1F2的面积为3
，可以求得|PF2|•|PF1|的值，根据余弦定理可以求得a，c的一个方程，双曲线的离心率为2，根据双曲线的离心率的定义式，可以求得a，c的一个方程，解方程组即可求得该椭圆的方程．
| π |
| 3 |
| 3 |
解答：解：设椭圆的方程为
+
=1（a＞b＞0），F1（-c，0）、F2（c，0）．
因为点P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a．…（2分）
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos
=（|PF1|+|PF2|）2-3|PF1|•|PF2|，
即4c2=4a2-3|PF1|•|PF2|．…（6分）
又因S△PF1F2=3
，所以
|PF1|•|PF2|sin
=3
，得|PF1|•|PF2|=12．
所以4c2=4a2-36，又e=
=
，
故a2=25，c2=16，b2=9，
∴所求椭圆的方程为
+
=1．…（12分）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
因为点P在椭圆上，所以|PF1|+|PF2|=2a．…（2分）
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos
| π |
| 3 |
即4c2=4a2-3|PF1|•|PF2|．…（6分）
又因S△PF1F2=3
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
所以4c2=4a2-36，又e=
| c |
| a |
| 4 |
| 5 |
故a2=25，c2=16，b2=9，
∴所求椭圆的方程为
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
点评：此题是个中档题．考查椭圆的定义和待定系数法求椭圆的标准方程，及利用余弦定理解圆锥曲线的焦点三角形，解题过程注意整体代换的方法，简化计算．
练习册系列答案
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