Question

20．已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2
（1）求函数f（x）在点（e，f（e））处的切线方程；
（2）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）记F（x）=$\frac{f（x）}{x}$-g（x），h（x）=-x²+2ax-$\frac{3}{4}$，设a≤2，如果对任意x₁，x₂∈[1，2]，都有F（x₁）≥h（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=e处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx-ax≥-x²-2恒成立，可化为a≤lnx+x+$\frac{2}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立．令F（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出；
（3）对任意x₁，x₂∈[1，2]，都有F（x₁）≥h（x₂），可得F（x）_min≥h（x）_max．

解答 解：（1）∵f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1
∵f（e）=e
又∵k=f′（e）=2
∴函数y=f（x）的在x=e处的切线方程为：y=2（x-e）+e，即y=2x-e
（2）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即a≤lnx+x+$\frac{2}{x}$在x∈（0，+∞）上恒成立．
令F（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$，
则F′（x）=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，在（0，1）上F′（x）＜0，在（1，+∞）上F′（x）＞0，
因此，F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即F_min（x）=F（x）=3，
∴a≤3．
（3）F（x）=$\frac{f（x）}{x}$-g（x）=lnx+x²-ax+2，a≤2，x∈[1，2]，∴F′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-a＞0，
∴F（x）_min=F（1）=3-a
h（x）=-x²+2ax-$\frac{3}{4}$=-（x-a）²+a²-$\frac{3}{4}$，x∈[1，2]，∴h（x）_max=a²-$\frac{3}{4}$，
∵对任意x₁，x₂∈[1，2]，都有F（x₁）≥h（x₂），
∴3-a≥a²-$\frac{3}{4}$
∴-2.5≤a≤1.5．

点评 本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、考查函数恒成立问题，考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．